Фізичний і математичний маятники - студопедія

Фізичним маятником називається тверде тіло, яке може гойдатися навколо нерухомої горизонтальної осі. Точка перетину її А вертикальною площиною, що проходить через центр мас маятника, називається точкою підвісу маятника (рис. 6.3). Положення тіла в кожен момент часу можна характеризувати кутом відхилення його з положення рівноваги. Кут грає роль узагальненої координати q. Кінетична енергія хитається фізичного маятника визначається виразом

де I - момент інерції маятника щодо осі А.

Потенційна енергія дорівнює

де h - висота підняття центру мас С над його самим нижнім положенням. Позначимо через а відстань між центром мас С і точкою підвісу А. Тоді

У разі малих коливань синус кута можна наближено замінити самим кутом. У цьому наближенні

Таким чином, для малих коливань потенційна і кінетична енергії приводяться до виду (6.14), причому. Звідси випливає, що малі коливання фізичного маятника будуть приблизно гармонійними з циклічною частотою

Окремим випадком фізичного маятника є математичний маятник. Так називається маятник, вся маса якого практично зосереджена в одній точці - в центрі мас маятника С.

Прикладом математичного маятника може служити кулька, підвішений на довгій нитці. У разі математичного маятника

де l - довжина маятника.

Формула (6.19) переходить в

Порівнюючи формули (6.19) і (6.20), робимо висновок, що фізичний маятник коливається так само, як математичний маятник з довжиною

яка називається наведеної довжиною фізичного маятника.

Відкладемо від точки підвісу А вздовж прямої А З відрізок, довжина якого дорівнює приведеній довжині фізичного маятника l (див. Рис. 6.3). Точка називається центром гойдання. Центр гойдання можна визначити як математичну точку, в якій треба зосередити всю масу фізичного маятника, щоб період його коливань залишився без змін.

По теоремі Штейнера

де - момент інерції маятника щодо паралельної осі, що проходить через центр мас С. Підставивши цей вираз у формулу (6.21), надамо їй вид

Звідси випливає, по-перше, що l> a. т. е. точкапідвісу А і центр гойдання лежать по різні боки від центру мас С і, по-друге, що всі точки підвісу, однаково віддалених від центру мас маятника, відповідає одна і та ж приведена довжина l, а отже, один і той же період коливань T.

Точка підвісу і центр гойдання є взаємними або сполученими точками в наступному сенсі. Якщо маятник підвісити за центр гойдання, то його період не зміниться і колишня точка підвісу А зробиться новим центром гойдання.

Схожі статті