Формула прямокутників онлайн


Оцінка залишкового члена формули:, або.

Призначення сервісу. Сервіс призначений для онлайн обчислення певного інтеграла за формулою прямокутників.

Формула середніх прямокутників

Це найпростіша квадратурная формула обчислення інтеграла, в якій використовується одне значення функції
(8.5.1)
де; h = x1 -x0.
Формула (8.5.1) являє собою центральну формулу прямокутників. Обчислимо залишковий член. Розкладемо в ряд Тейлора функцію y = f (x) в точці ε0.
(8.5.2)
де; . Проинтегрируем (8.5.2):
(8.5.3)

У другому доданку подинтегральная функція непарна, а межі інтегрування симетричні щодо точки ε0. Тому другий інтеграл дорівнює нулю. Таким чином, з (8.5.3) слід.
Т. к. Другий множник подинтегрального вираження не змінює знак, то по теоремі про повну загальну середню отримаємо, де. Після інтегрування отримаємо. (8.5.4)
Порівнюючи із залишковим членом формули трапецій, ми бачимо, що похибка формули прямокутників в два рази менше, ніж похибка формули трапецій. Цей результат вірний, якщо у формулі прямокутників ми беремо значення функції в середній точці.
Отримаємо формулу прямокутників і залишковий член для інтервалу [a, b]. Нехай задана сітка xi = a + ih, i = 0,1. n,. Розглянемо сітку εi = ε0 + ih, i = 1,2. n, ε0 = a-h / 2. Тоді. (8.5.5)
Остаточний член.
Геометрично формула прямокутників може бути представлена ​​наступним малюнком:

Формула прямокутників онлайн

Якщо функція f (x) задана таблично, то використовують або лівосторонній формулу прямокутників (для рівномірної сітки)

або правостороннім формулу прямокутників

.
Похибка цих формул оцінюється через першу похідну. Для інтервалу [x0. x1] похибка дорівнює

; .
Після інтегрування отримаємо.

Приклад. Обчислити інтеграл при n = 5:
а) за формулою трапецій;
б) за формулою прямокутників;
в) за формулою Сімпсона;
г) за формулою Гаусса;
д) за формулою Чебишева.
РассНовомосковскть похибка.
Рішення. Для 5-ти вузлів інтегрування крок сітки складе 0.125.
При вирішенні будемо користуватися таблицею значень функції. Тут f (x) = 1 / x.