Фундаментальна система рішень - студопедія

Рішення однорідної системи мають наступні свій-ствами. Якщо вектор = (# 945; 1. # 945; 2. # 945; n) є рішенням системи (15.14), то і для будь-якого числа k вектор k = (k # 945; 1, k # 945; 2. K # 945; n) буде вирішенням цієї системи. Якщо рішенням сис-теми (15.14) є вектор = (# 947; 1. # 947; 2. # 947; n), то сума + також буде вирішенням цієї системи. Звідси випливає, що будь-яка лінійна комбінація рішень однорідної системи також є вирішенням цієї системи.

Як ми знаємо з п. 12.2, будь-яка система n -мірних векторів, що складається більш ніж з п векторів, є линів-но залежною. Таким чином, з безлічі векторів-рішень однорідної системи (15.14) можна вибрати базис, тобто будь-який вектор-рішення даної системи буде лінійною комбінацією векторів цього базису. Будь-який такий базис називається фунда-ментальної системою рішень однорідної системи лінійних рівнянь. Справедлива наступна теорема, яку ми при-водимо без докази.

ТЕОРЕМА 4.Якщо ранг r системи однорідних рівнянь (15.14) менше числа невідомих п, то будь-яка фундамен-тальна система рішень системи (15.14) складається з п - r рішень.

Зазначимо тепер спосіб знаходження фундаментальної сис-теми рішень (ФСР). Нехай система однорідних рівнянь (15.14) має ранг r <п. Тогда, как следует из правил Краме-ра, базисные неизвестные этой системы x1. x2. … xr линейно выражаются через свободные переменные xr+1, xr+2,. xп :

Виділимо приватні рішення однорідної системи (15.14) по сле-дме принципом. Для знаходження першого вектора-рішення 1 покладемо xr + 1 = 1, xr + 2 = xr + 3 =. = Xn = 0. Потім на-ходимо друге рішення 2. приймаємо xr + 2 = 1, а решта r - 1 вільних змінних покладемо нулями. Іншими словами, ми послідовно присвоюємо кожної вільної змін-ної середнє арифметичне значення, поклавши інші нулями. Таким чином, фундаментальна система рішень в векторної фор-ме з урахуванням перших r базисних змінних (15.15) має вигляд

ФСР (15.16) є одним з фундаментальних наборів рішень однорідної системи (15.14).

Приклад 1. Знайти рішення і ФСР системи однорідних рівнян-нений

Рішення. Будемо вирішувати цю систему методом Гаусса. По-кільки число рівнянь системи менше числа невідомих, сНовомосковскем х1, x2. х3 базисними невідомими, а x4, х5, x6- сво-Бодня змінними. Складемо розширену матрицю сис-теми і виконаємо дії, що становлять прямий хід методу:

Перетворена розширена матриця відповідає системі рівнянь, яка еквівалентна вихідної однорідної системі:

Зворотний хід методу Гаусса дає значення базисних неіз-Вестн, виражені через вільні змінні:

Оскільки ранг однорідної системи дорівнює трьом, то ФСР для неї складається з трьох лінійно незалежних векторів. За фор-мулам (15.16) при п = 6 і r = 3, беручи послідовно для вільних змінних трійки чисел (1, 0, 0), (0, 1, 0) і (0, 0, 1), отримуємо набір фундаментальних рішень:

Схожі статті

  • Фундаментальна система рішень

    Фундаментальна система рішень Випишемо матрицю A Мінор матриці називається базисним, якщо він нерівний 0, і оздоблюють його мінори або всі рівні 0, або зовсім відсутні. теорема про

  • Система автоматичного підстроювання частоти - студопедія

    Система автоматичного підстроювання частоти Системи автоматичного підстроювання частоти (АПЧ) застосовуються в радіоприймальних пристроях, доплерівських системах виміру швидкості рухомих об'єктів,

  • Фундаментальна система рішень - це

    Фундаментальна система рішень це: Дивитися що таке "Фундаментальна система рішень" в інших словниках: ФУНДАМЕНТАЛЬНА СИСТЕМА РІШЕНЬ - лінійної однорідної системи звичайних