статистичне оцінювання

Розподіл випадкової величини (розподіл генеральної сукупності) характеризується зазвичай поруч числових характеристик:
  • для нормального розподілу N (a, σ) - це математичне очікування a і середньоквадратичне відхилення σ;
  • для рівномірного розподілу R (a, b) - це межі інтервалу [a; b], в якому спостерігаються значення цієї випадкової величини.
Такі числові характеристики, як правило, невідомі, називаються параметрами генеральної сукупності. Оцінка параметра - відповідна числова характеристика, рассНовомосковскнная по вибірці. Оцінки параметрів генеральної сукупності діляться на два класи: точкові та інтервальні.

Коли оцінка визначається одним числом, вона називається точковою оцінкою. Точкова оцінка, як функція від вибірки, є випадковою величиною і змінюється від вибірки до вибірки при повторному експерименті.
До точкових оцінками висувають вимоги, яким вони повинні задовольняти, щоб хоч в якомусь сенсі бути «доброякісними». Це несмещённость. ефективність і спроможність.

Інтервальні оцінки визначаються двома числами - кінцями інтервалу, який накриває оцінюваний параметр. На відміну від точкових оцінок, які не дають уявлення про те, як далеко від них може перебувати оцінюваний параметр, інтервальні оцінки дозволяють встановити точність і надійність оцінок.

Як точкових оцінок математичного очікування, дисперсії і середнього квадратичного відхилення використовують вибіркові характеристики відповідно вибіркове середнє, вибіркова дисперсія і вибіркове середнє квадратичне відхилення.

Властивість незсуненості оцінки.
Бажаним вимогою до оцінки є відсутність систематичної помилки, тобто при багаторазовому використанні замість параметра # 952; його оцінки середнє значення помилки наближення дорівнює нулю - це властивість незсуненості оцінки.

Визначення. Оцінка називається несмещенной. якщо її математичне сподівання дорівнює істинного значення оцінюваного параметра:

Вибіркове середнє арифметичне є несмещенной оцінкою математичного очікування, а вибіркова дисперсія - зміщена оцінка генеральної дисперсії D. незміщеної оцінкою генеральної дисперсії є оцінка

Властивість спроможності оцінки.
Друга вимога до оцінки - її спроможність - означає поліпшення оцінки зі збільшенням обсягу вибірки.

Визначення. Оцінка називається заможної. якщо вона сходиться по ймовірності до оцінюваного параметру # 952; при n → ∞.


Збіжність за ймовірністю означає, що при великому обсязі вибірки ймовірність великих відхилень оцінки від істинного значення мала.

Властивість ефективної оцінки.
Третя вимога дозволяє вибрати кращу оцінку з декількох оцінок одного і того ж параметра.

Визначення. Несмещенная оцінка є ефективною. якщо вона має найменшу серед усіх незміщене оцінок дисперсію.

Це означає, що ефективна оцінка має мінімальну розсіюванням щодо істинного значення параметра. Зауважимо, що ефективна оцінка існує не завжди, але з двох оцінок зазвичай можна вибрати більш ефективну, тобто з меншою дисперсією. Наприклад, для невідомого параметра a нормальної генеральної сукупності N (a, # 963;) в якості несмещенной оцінки можна взяти і вибіркове середнє арифметичне, і вибіркову медіану. Але дисперсія вибіркової медіани приблизно в 1.6 рази більше, ніж дисперсія середнього арифметичного. Тому більш ефективної оцінкою є вибіркове середнє арифметичне.

Приклад №1. Знайдіть несмещенную оцінку дисперсії вимірювань деякої випадкової величини одним приладом (без систематичних помилок), результати вимірювання якої (в мм): 13,15,17.
Рішення. Таблиця для розрахунку показників.


Проста середня арифметична (несмещенная оцінка математичного очікування)
"/>
"/>
Дисперсія - характеризує міру розкиду близько її середнього значення (міра розсіювання, тобто відхилення від середнього - зміщена оцінка).


Несмещенная оцінка дисперсії - заможна оцінка дисперсії (виправлена ​​дисперсія).
"/>
"/>

Приклад №2. Знайдіть несмещенную оцінку математичного очікування вимірювань деякої випадкової величини одним приладом (без систематичних помилок), результати вимірювання якої (в мм): 4,5,8,9,11.
Рішення. m = (4 + 5 + 8 + 9 + 11) / 5 = 7.4

Приклад №3. Знайдіть виправлену дисперсію S 2 для вибірки обсягу n = 10, якщо вибіркова діспресія дорівнює D = 180.
Рішення. S 2 = n * D / (n-1) = 10 * 180 / (10-1) = 200