Визначення певного інтеграла

У школі до поняття певного інтеграла нас підводили розглядом завдання про обчисленні площі криволінійної трапеції. Розглядалася безперервна неотрицательная функція y = f (x) на відрізку [a; b]. цей відрізок розбивався на n рівних частин точками, і відповідна площа криволінійної трапеції наближено представлялася сумою площ елементарних прямокутників

Визначення певного інтеграла

Далі робилося припущення, що значення цього виразу прагнути до деякого числа при нескінченному збільшенні кількості точок розбиття відрізка [a; b]. У підсумку це припущення узагальнювали для будь-якої неперервної на відрізку функції y = f (x) (не обов'язково неотрицательной) і число назвали певним інтегралом. Можна сказати, що до поняття визначеного інтеграла в школі ми підходили в геометричному сенсі.

Визначення певного інтеграла

У цій статті ми спочатку розглянемо визначення певного інтеграла, ці Ріманом і Дарбу, також покажемо, що розуміють під певним інтегралом в сенсі Ньютона-Лейбніца. Після цього озвучимо необхідна умова інтегрованості функції на відрізку і перерахуємо види інтегрованих функцій.

Навігація по сторінці.

Певний інтеграл Рімана.

Розглянемо функцію y = f (x). яка визначена на відрізку [a; b]. Розіб'ємо відрізок [a; b] на n частин точками.

Позначимо, а точки будемо вибирати таким чином, щоб при. Усередині кожного відрізка виберемо точку.

При озвучених умовах існує безліч способів вибору точок і.

Інтегральною сумою функції y = f (x) для даного розбиття відрізка [a; b] і даного вибору точок називають вираз

Визначення певного інтеграла

Для конкретного розбиття відрізка [a; b] і вибору точок ми отримаємо свою інтегральну суму. Тобто, ми маємо безліч інтегральних сум для різних варіантів вибору і.

Число називається межею інтегральних сум при, якщо для будь-якого як завгодно малого позитивного іпсилон існує таке як завгодно мале позитивне, залежне від іпсилон, дельта, що як тільки, то при будь-якому виборі точок справедливо нерівність.

Функція y = f (x) називається інтегрованою на відрізку [a; b]. якщо існує кінцева межа її інтегральних сум при. Значення межі є певний інтеграл Рімана.

Прийнято наступне позначення інтеграла Рімана:. Тоді за визначенням певного інтеграла Рімана маємо.

Числа a і b називаються нижньою і верхньою межею інтегрування відповідно, f (x) називається підінтегральної функцією. x - змінної інтегрування.

Значення певного інтеграла Рімана не залежить від змінної інтегрування, тобто,.

Певний інтеграл Дарбу.

Для розуміння необхідного і достатнього умови існування певного інтеграла Дарбу нам буде потрібно кілька додаткових визначень.

Розглянемо обмежену на відрізку [a; b] функцію y = f (x). Знову розіб'ємо відрізок [a; b] на n частин точками при колишньому умови при. Нехай і - точна нижня і точна верхня грань безлічі значень функції y = f (x) на i-му відрізку,. Для безперервної і обмеженої функції.


і

для даного розбиття відрізка [a; b] називають нижньої і верхньої сумами Дарбу відповідно.

Визначення певного інтеграла

Очевидно, що для фіксованого розбиття відрізка [a; b] справедливо подвійне нерівність. Іншими словами, s і S - точна нижня і точна верхня грань безлічі інтегральних сум відповідно.

Для інтегрованості обмеженою на відрізку [a; b] функції y = f (x) необхідно і достатньо, щоб межа різниці верхньої і нижньої сум Дарбу дорівнював нулю при, тобто, щоб виконувалася умова. Ця умова є необхідною і достатньою умовою існування певного інтеграла Дарбу, а певний інтеграл, розглянутий в сенсі озвученого умови, називають визначеним інтегралом Дарбу.

Певний інтеграл Дарбу позначають так само, як і інтеграл Рімана, то є,.

Певний інтеграл Ньютона-Лейбніца.

Зараз покажемо, як дається поняття певного інтеграла Ньютона-Лейбніца.

Нехай функція y = f (x) має первісну F (x) на відрізку [a; b]. причому значення первісної в точці x = a дорівнює нулю: F (a) = 0. Певним інтегралом Ньютона-Лейбніца називається значення цієї первісної в точці b. тобто, при F (a) = 0.

Це визначення тісно пов'язане з формулою Ньютона-Лейбніца. У формулі Ньютона-Лейбніца F (x) - будь-яка первісна з їх безлічі, а в понятті певного інтеграла Ньютона-Лейбніца фігурує саме та первісна, яка звертається в нуль при x = a.

Необхідна умова інтегрованості функції на відрізку, види інтегрованих функцій.

Сформулюємо необхідна умова існування певного інтеграла функції на відрізку.

Якщо функція y = f (x) інтегрована на відрізку [a; b]. то вона обмежена на ньому.

Трохи пояснимо. Ця умова є необхідною, але не є достатнім. Що це означає? Якщо функція обмежена на відрізку, то не обов'язково вона інтегрована на ньому. Але, якщо функція не обмежена на відрізку, тоді вона не інтегрована на ньому. Ця умова використовується для перевірки можливості інтегрування функції на відрізку, тобто, перевіряється обмеженість функції.

Перерахуємо види функцій, для яких існує певний інтеграл.

  • Якщо функція неперервна на відрізку [a; b]. то вона интегрируема ньому.
  • Якщо функція обмежена на відрізку [a; b] і неперервна в усіх точках, крім кінцевого їх числа, то вона інтегровна на [a; b]. На малюнку нижче наведений приклад такої інтегрованої функції.
    Визначення певного інтеграла

Певний інтеграл Рімана задається через межу інтегральних сум, інтеграл Дарбу - через межу різниці верхніх і нижніх сум Дарбу, а інтеграл Ньютона-Лейбніца - через значення первісної.

Слід зазначити, що якщо інтеграл Рімана і інтеграл Ньютона-Лейбніца одночасно існують для функції y = f (x) на відрізку [a; b]. то їх значення рівні. Певний інтеграл Рімана і інтеграл Дарбу для обмеженої функції одночасно існують або не існують.